Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:
\(\displaystyle -25x^2-20x+4\cdot 8=0{\small .}\)
Напомним обратную теорему Виета.
Обратная теорема Виета
Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[15px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)
то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)
Эта теорема применима только для квадратного уравнения со старшим коэффициентом, равным единице.
Преобразуем данное уравнение к этому виду, разделив обе части уравнения на его старший коэффициент:
\(\displaystyle \color{red}{ -25}x^2-20x+4\cdot 8=0 \,| : \color{red}{ (-25)}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{\color{red}{ -25}}{ \color{red}{ -25 }}x^2-\frac{ \phantom{1}20}{ \color{red}{ -25 }}x+\frac{ \phantom{1}4\cdot 8\phantom{1}}{ \color{red}{ -25}}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2+\frac{ 4}{5}x+\frac{ \phantom{1}4\cdot 8\phantom{1}}{ -25}=0{ \small .}\)
Посмотрим на коэффициенты в полученном уравнении :
\(\displaystyle x^2+\color{green}{ \frac{ 4}{5}}x+\color{blue}{ \frac{ \phantom{1}4\cdot 8\phantom{1}}{ -25 }}=0{ \small .}\)
Видим, что \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ \frac{ 4}{5}}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{ \phantom{1}4\cdot 8\phantom{1}}{ -25 }}{\small .}\)
В обратной теореме Виета складываются и умножаются одни и те же числа.
Поскольку \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ \frac{ 4}{5}}{ \small ,}\) то можно предположить, что складываться и умножаться будут дроби со знаменателем \(\displaystyle 5{\small .}\)
Перепишем коэффициент \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{ \phantom{1}4\cdot 8\phantom{1}}{ -25 }}\) в виде произведения дробей со знаменателем \(\displaystyle 5{\small : } \)
\(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{ 4}{5}}\cdot \left(\color{blue}{ -\frac{8}{ 5}}\right)\) или \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\left(\color{blue}{ -\frac{ 4}{ 5}}\right)\cdot \color{blue}{ \frac{8}{ 5}}{\small .}\)
Проверим оба варианта.
Предположим, что \(\displaystyle x_1=\frac{4}{ 5}\) и \(\displaystyle x_2=-\frac{ 8}{ 5}{\small .}\)
Убедимся, удовлетворяют ли данные числа обратной теореме Виета.
Действительно, числа \(\displaystyle \color{red}{ \frac{4}{ 5}}\) и \(\displaystyle \color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\) такие, что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ \frac{4}{ 5}}+\left(\color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\right)&=-\color{green}{ \frac{4}{ 5}}{ \small ,}\\[15px]\color{red}{ \frac{4}{ 5}}\cdot \left(\color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\right)&=\color{blue}{ \frac{4}{ 5}}\cdot \left(-\color{blue}{ \frac{8}{ 5}}\right) {\small .}\end{aligned}\right. \)
Значит, по обратной теореме Виета \(\displaystyle \color{red}{ \frac{4}{ 5}}\) и \(\displaystyle \color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\) – корни квадратного уравнения
\(\displaystyle -25x^2-20x+4\cdot 8=0{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{4}{ 5}\) и \(\displaystyle -\frac{ 8}{ 5}{\small .} \)